1973 AMC 12 Problema 10

Question

Si

n

es un número real, entonces el sistema simultáneo

\begin{cases} nx+y=1,\\ ny+z=1,\\ x+nz=1 \end{cases}

no tiene solución si y solo si

n

es igual a

If

n

is a real number, then the simultaneous system

\begin{cases} nx+y=1,\\ ny+z=1,\\ x+nz=1 \end{cases}

has no solution if and only if

n

is equal to

-1

0

1

0

o

1

0

or

1

\frac12

Suma las tres ecuaciones y examina el coeficiente de

x+y+z

Add all three equations and inspect the coefficient of

x+y+z

Para cualquier otro valor de

n,

prueba la elección simétrica

x=y=z

For every remaining value of

n,

try the symmetric choice

x=y=z

Al sumar las ecuaciones se obtiene

(n+1)(x+y+z)=3.

Cuando

n=-1,

esto se convierte en

0=3,

por lo que no hay solución. Si

n\ne-1,

la asignación simétrica

x=y=z=\frac1{n+1}

satisface las tres ecuaciones. Por lo tanto, el sistema no tiene solución exactamente cuando

n=-1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Adding the equations gives

(n+1)(x+y+z)=3.

When

n=-1,

this becomes

0=3,

so no solution exists. If

n\ne-1,

the symmetric assignment

x=y=z=\frac1{n+1}

satisfies all three equations. Hence the system has no solution exactly when

n=-1.

Therefore, the correct answer is A.

El Problema 10 en otros años