1977 AMC 12 Problema 14

Question

¿Cuántos pares

(m,n)

de enteros satisfacen la ecuación

m+n=mn

?

How many pairs

(m,n)

of integers satisfy the equation

m+n=mn?

1

2

3

4

más de

4

more than

4

Pasa todos los términos a un lado y suma

1

Move all terms to one side and add

1

Factoriza la ecuación como un producto de dos enteros igual a

1

Factor the equation into a product of two integers equal to

1

Al reordenar y completar el producto se obtiene

\begin{aligned} mn-m-n&=0,\\ (m-1)(n-1)&=1. \end{aligned}

Los pares de factores enteros de

1

son

(1,1)

y

(-1,-1),

que producen

(m,n)=(2,2)

y

(0,0).

Por lo tanto, hay dos pares ordenados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Rearranging and completing the product gives

\begin{aligned} mn-m-n&=0,\\ (m-1)(n-1)&=1. \end{aligned}

The integer factor pairs of

1

are

(1,1)

and

(-1,-1),

producing

(m,n)=(2,2)

and

(0,0).

Thus there are two ordered pairs.

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 14 en otros años