1977 AMC 12 Problema 13

Question

Si

a_1,

a_2,

a_3,

\ldots

es una sucesión de números positivos tal que

a_{n+2}=a_na_{n+1}

para todo entero positivo

n,

entonces la sucesión

a_1,

a_2,

a_3,

\ldots

es una progresión geométrica

If

a_1,

a_2,

a_3,

\ldots

is a sequence of positive numbers such that

a_{n+2}=a_na_{n+1}

for all positive integers

n,

then the sequence

a_1,

a_2,

a_3,

\ldots

is a geometric progression

para todos los valores positivos de

a_1

y

a_2

for all positive values of

a_1

and

a_2

si y solo si

a_1=a_2

if and only if

a_1=a_2

si y solo si

a_1=1

if and only if

a_1=1

si y solo si

a_2=1

if and only if

a_2=1

si y solo si

a_1=a_2=1

if and only if

a_1=a_2=1

Respuesta: E

Conceptos:recursión sucesión geométrica razón y proporción

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Escribe

a_3,

a_4,

y

a_5

en función de

a_1,

a_2

Write out

a_3,

a_4,

and

a_5

in terms of

a_1,

a_2

Pista grande:

Iguala las tres primeras razones consecutivas y usa que los términos son positivos

Equate the first three successive ratios and use positivity

Solución:

Los términos siguientes son

a_3=a_1a_2,

a_4=a_1a_2^2,

y

a_5=a_1^2a_2^3.

Si la sucesión es geométrica, entonces

\begin{aligned} \frac{a_2}{a_1}&=\frac{a_3}{a_2}=a_1,\\ \frac{a_4}{a_3}&=a_2=a_1. \end{aligned}

Así,

a_2=a_1^2

y

a_2=a_1.

Como los términos son positivos, necesariamente

a_1=a_2=1.

Recíprocamente, estos valores iniciales producen la sucesión geométrica constante

1,1,1,\ldots.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The next terms are

a_3=a_1a_2,

a_4=a_1a_2^2,

and

a_5=a_1^2a_2^3.

If the sequence is geometric, then

\begin{aligned} \frac{a_2}{a_1}&=\frac{a_3}{a_2}=a_1,\\ \frac{a_4}{a_3}&=a_2=a_1. \end{aligned}

Thus

a_2=a_1^2

and

a_2=a_1.

Positivity forces

a_1=a_2=1.

Conversely, these initial values produce the constant geometric sequence

1,1,1,\ldots.

Therefore, the correct answer is E.

1977 AMC 12 Problema 13

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años