1980 AMC 12 Problema 11

Question

Si la suma de los primeros

10

términos y la suma de los primeros

100

términos de una progresión aritmética dada son

100

y

10,

respectivamente, entonces la suma de los primeros

110

términos es

If the sum of the first

10

terms and the sum of the first

100

terms of a given arithmetic progression are

100

and

10,

respectively, then the sum of the first

110

terms is

90

-90

110

-110

-100

Escribe

S_n=\frac n2(2a+(n-1)d)

Write

S_n=\frac n2(2a+(n-1)d)

Usa las dos sumas parciales conocidas para hallar la expresión

2a+109d

Use the two known partial sums to find the expression

2a+109d

Las dos sumas dadas producen

\begin{aligned} 2a+9d&=20,\\ 2a+99d&=\frac15. \end{aligned}

Al restar se obtiene

90d=-\frac{99}{5},

así que

d=-\frac{11}{50}

y

2a=\frac{1099}{50}.

Por lo tanto,

\begin{aligned} S_{110}&=55(2a+109d)\\ &=55(-2)\\ &=-110. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The two given sums yield

\begin{aligned} 2a+9d&=20,\\ 2a+99d&=\frac15. \end{aligned}

Subtracting gives

90d=-\frac{99}{5},

so

d=-\frac{11}{50}

and

2a=\frac{1099}{50}.

Therefore

\begin{aligned} S_{110}&=55(2a+109d)\\ &=55(-2)\\ &=-110. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is D.

El Problema 11 en otros años