1984 AMC 12 Problema 11

Question

Una calculadora tiene una tecla que reemplaza el número mostrado por su cuadrado y otra que lo reemplaza por su recíproco. Sea

y

el resultado final si se comienza con un número

x\ne0

y se alternan las operaciones de elevar al cuadrado y tomar el recíproco, cada una

n

veces. Si se supone que la calculadora es completamente exacta (por ejemplo, sin redondeo ni desbordamiento), entonces

y

es igual a

A calculator has a key which replaces the displayed entry with its square, and another key which replaces the displayed entry with its reciprocal. Let

y

be the final result if one starts with an entry

x\ne0

and alternately squares and reciprocates

n

times each. Assuming the calculator is completely accurate (e.g., no roundoff or overflow), then

y

equals

x^{(-2)^n}

x^{2n}

x^{-2n}

x^{-2^n}

x^{(-1)^n2n}

Respuesta: A

Conceptos:exponente simulación de procesos reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Sigue únicamente el exponente de

x

Track only the exponent of

x

Pista grande:

Cada par de operaciones, elevar al cuadrado y luego tomar el recíproco, multiplica el exponente por

-2

One squaring-reciprocating pair multiplies the exponent by

-2

Solución:

Escribe el valor mostrado como

x^e.

Elevar al cuadrado cambia

e

por

2e,

y luego tomar el recíproco lo cambia por

-2e.

A partir de

e=1,

después de

n

pares de operaciones el exponente es

(-2)^n.

Por lo tanto,

y=x^{(-2)^n}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Write the displayed value as

x^e.

Squaring changes

e

to

2e,

and then reciprocating changes it to

-2e.

Starting from

e=1,

after

n

such pairs the exponent is

(-2)^n.

Thus

y=x^{(-2)^n}.

Therefore, the correct answer is A.