1985 AMC 12 Problema 14

Question

Exactamente tres de los ángulos interiores de un polígono convexo son obtusos. ¿Cuál es la cantidad máxima de lados de tal polígono?

Exactly three of the interior angles of a convex polygon are obtuse. What is the maximum number of sides of such a polygon?

4

5

6

7

8

Acota los tres ángulos obtusos por

180^\circ

y cada otro ángulo por

90^\circ

Bound the three obtuse angles by

180^\circ

and every other angle by

90^\circ

Compara esa cota superior con la suma de ángulos interiores

(n-2)180^\circ

Compare that upper bound with the interior-angle sum

(n-2)180^\circ

Para un

n

-gono, los tres ángulos obtusos suman menos de

3\cdot180^\circ,

mientras que los otros

n-3

ángulos suman a lo sumo

(n-3)90^\circ.

Por tanto,

\begin{aligned} (n-2)180^\circ &\lt3(180^\circ)\\ &\quad{}+(n-3)90^\circ, \end{aligned}

lo que se simplifica a

n\lt7.

Seis lados son posibles, por ejemplo, con ángulos interiores

150^\circ,

150^\circ,

150^\circ,

90^\circ,

90^\circ,

y

90^\circ.

Así, el máximo es

6.

La respuesta correcta es C.

For an

n

-gon, the three obtuse angles have total less than

3\cdot180^\circ,

while the other

n-3

angles have total at most

(n-3)90^\circ.

Hence

\begin{aligned} (n-2)180^\circ &\lt3(180^\circ)\\ &\quad{}+(n-3)90^\circ, \end{aligned}

which simplifies to

n\lt7.

Six sides are attainable, for example with interior angles

150^\circ,

150^\circ,

150^\circ,

90^\circ,

90^\circ,

and

90^\circ.

Thus the maximum is

6.

Therefore the correct answer is C.

El Problema 14 en otros años