1991 AMC 12 Problema 12

Question

Las medidas, en grados, de los ángulos interiores de un hexágono convexo forman una sucesión aritmética de enteros positivos. Sea

m^\circ

la medida del ángulo interior mayor. El mayor valor posible de

m^\circ

es

The measures (in degrees) of the interior angles of a convex hexagon form an arithmetic sequence of positive integers. Let

m^\circ

be the measure of the largest interior angle of the hexagon. The largest possible value of

m^\circ

is

165^\circ

167^\circ

170^\circ

175^\circ

179^\circ

Escribe los ángulos como

a,a+d,\ldots,a+5d

y usa su suma

Write the angles as

a,a+d,\ldots,a+5d

and use their sum

La ecuación obliga a que

d

sea par, y la convexidad acota el ángulo mayor por debajo de

180^\circ

The equation forces

d

to be even, and convexity bounds the largest angle below

180^\circ

La suma de los ángulos es

720^\circ,

así que

\begin{aligned} 6a+15d&=720,\\ 2a+5d&=240. \end{aligned}

Por lo tanto,

d

es par. El ángulo mayor es

a+5d=120+\frac52d,

que debe ser menor que

180.

Así,

d\lt24,

y el mayor valor par permitido es

d=22.

Esto da

a=65

y

m=65+5(22)=175.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The angle sum is

720^\circ,

so

\begin{aligned} 6a+15d&=720,\\ 2a+5d&=240. \end{aligned}

Hence

d

is even. The largest angle is

a+5d=120+\frac52d,

which must be less than

180.

Thus

d\lt24,

and the largest allowable even value is

d=22.

It gives

a=65

and

m=65+5(22)=175.

Thus the correct answer is D.

El Problema 12 en otros años