1992 AMC 12 Problema 11

Question

La razón entre los radios de dos círculos concéntricos es

1:3.

Si

\overline{AC}

es un diámetro del círculo mayor,

\overline{BC}

es una cuerda del círculo mayor tangente al círculo menor, y

AB=12,

entonces el radio del círculo mayor es

The ratio of the radii of two concentric circles is

1:3.

If

\overline{AC}

is a diameter of the larger circle,

\overline{BC}

is a chord of the larger circle that is tangent to the smaller circle, and

AB=12,

then the radius of the larger circle is

13

18

21

24

26

Respuesta: B

Conceptos:circle tangent triángulo rectángulo similar triangles

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Traza el radio hasta el punto donde

\overline{BC}

toca el círculo menor

Draw the radius to the point where

\overline{BC}

touches the smaller circle

Pista grande:

Usa los triángulos rectángulos semejantes formados por el radio al punto de tangencia y el diámetro

Use the similar right triangles formed by the tangent radius and the diameter

Solución:

Sea

O

el centro común y

T

el punto de tangencia en

\overline{BC}.

Como

OT\perp BC

y

\angle ABC=90^\circ,

los triángulos

OTC

y

ABC

son semejantes. Si el radio mayor es

R,

entonces

OT=\frac{R}{3},

OC=R,

y

AC=2R.

Por tanto,

\frac{OT}{AB}=\frac{OC}{AC}=\frac12.

De aquí,

OT=6

y

R=3OT=18.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

O

be the common center and

T

the tangency point on

\overline{BC}.

Since

OT\perp BC

and

\angle ABC=90^\circ,

triangles

OTC

and

ABC

are similar. If the larger radius is

R,

then

OT=\frac{R}{3},

OC=R,

and

AC=2R.

Thus

\frac{OT}{AB}=\frac{OC}{AC}=\frac12.

Hence

OT=6

and

R=3OT=18.

Thus the correct answer is B.