1996 AMC 12 Problema 12

Question

Una función

f

de los enteros a los enteros se define de la siguiente manera:

f(n)= \begin{cases} n+3 & \text{si \(n\) es impar},\\ \frac{n}{2} & \text{si \(n\) es par}. \end{cases}

Supón que

k

es impar y que

f(f(f(k)))=27.

¿Cuál es la suma de las cifras de

k

?

A function

f

from the integers to the integers is defined as follows:

f(n)= \begin{cases} n+3 & \text{if \(n\) is odd},\\ \frac{n}{2} & \text{if \(n\) is even}. \end{cases}

Suppose

k

is odd and

f(f(f(k)))=27.

What is the sum of the digits of

k?

3

6

9

12

15

Respuesta: B

Conceptos:piecewise functions paridad

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Como

k

es impar, la primera iteración es

k+3

, que es par

Because

k

is odd, the first iterate is

k+3

, which is even

Pista grande:

Trabaja hacia atrás desde

27

, comprobando la paridad que exige cada rama inversa

Work backward from

27

, checking the parity required by each inverse branch

Solución:

Como

k

es impar,

f(k)=k+3

es par, así que

f(f(k))=\frac{k+3}{2}.

Si este valor fuera impar, sumar

3

no podría producir

27

, pues eso exigiría que el valor fuera

24.

Por tanto, es par y al dividirlo entre dos se obtiene

27,

de modo que

\frac{k+3}{2}=54.

Así,

k=105,

cuyas cifras suman

6.

La respuesta correcta es B.

Since

k

is odd,

f(k)=k+3

is even, so

f(f(k))=\frac{k+3}{2}.

If this value were odd, adding

3

could not produce

27

because that would require the value

24.

Therefore it is even and is halved to

27,

so

\frac{k+3}{2}=54.

Hence

k=105,

whose digits sum to

6.

The correct answer is B.