1957 AMC 12 第 21 题

Question

以定理“若一个三角形的两个角相等，则该三角形是等腰三角形”为出发点，并考察以下四个命题：

1

。若一个三角形的两个角不相等，则该三角形不是等腰三角形。

2

。等腰三角形的两个底角相等。

3

。若一个三角形不是等腰三角形，则它的两个角不相等。

4

。一个三角形为等腰三角形，是其两个角相等的必要条件。

下列哪组命题只包含与所给定理逻辑等价的命题？

Start with the theorem “If two angles of a triangle are equal, the triangle is isosceles,” and the following four statements:

1.

If two angles of a triangle are not equal, the triangle is not isosceles.

2.

The base angles of an isosceles triangle are equal.

3.

If a triangle is not isosceles, then two of its angles are not equal.

4.

A necessary condition that two angles of a triangle be equal is that the triangle be isosceles.

Which combination of statements contains only those which are logically equivalent to the given theorem?

1

，

2

，

3

，

4

1,

2,

3,

4

1

，

2

，

3

1,

2,

3

2

，

3

，

4

2,

3,

4

1

，

2

1,

2

3

，

4

3,

4

答案：E

知识点：逻辑推理

难度评级：1590

小提示：

将定理写成

P\Rightarrow Q

，并把各命题与其否命题、逆命题或逆否命题比较

Write the theorem as

P\Rightarrow Q

and compare each statement with its inverse, converse, or contrapositive

大提示：

一个命题总与其逆否命题等价，但通常不与其逆命题或否命题等价

A statement is always equivalent to its contrapositive, but not generally to its converse or inverse

解答：

令

P

表示两个角相等，

Q

表示三角形为等腰三角形。命题

3

是逆否命题

\neg Q\Rightarrow\neg P

，所以它与

P\Rightarrow Q

等价。命题

4

说

Q

是

P

的必要条件，这只是

P\Rightarrow Q

的另一种表述。命题

1

与

2

分别是否命题和逆命题。

因此，只有命题

3

与

4

等价，正确答案是 E。

Let

P

mean that two angles are equal and

Q

that the triangle is isosceles. Statement

3

is the contrapositive

\neg Q\Rightarrow\neg P,

so it is equivalent to

P\Rightarrow Q.

Statement

4

says that

Q

is necessary for

P,

which is another wording of

P\Rightarrow Q.

Statements

1

and

2

are the inverse and converse.

Thus only statements

3

and

4

are equivalent, so the correct answer is E.

1957 AMC 12 第 21 题

答案：E

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

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