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1957 AMC 12 第 22 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

22.

若

\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}+1=0

，则

4x

等于：

If

\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}+1=0,

then

4x

equals:

5

4\sqrt{-1}

0

1\frac14

无实数值

no real value

答案：A

知识点：根式分式方程

难度评级：1630

小提示：

移项得到

\sqrt{x+1}=\sqrt{x-1}+1

Rearrange to

\sqrt{x+1}=\sqrt{x-1}+1

大提示：

两边平方一次后，分离出

\sqrt{x-1}

After squaring once, isolate

\sqrt{x-1}

解答：

移项并平方：

\begin{aligned} \sqrt{x+1}&=\sqrt{x-1}+1,\\ x+1&=x-1+2\sqrt{x-1}+1 \end{aligned}\text{。}

因此

2\sqrt{x-1}=1

，所以

x-1=\frac{1}{4}

，且

x=\frac{5}{4}

。这个值满足原方程。因此

4x=5

。

因此，正确答案是 A。

Rearrange and square:

\begin{aligned} \sqrt{x+1}&=\sqrt{x-1}+1,\\ x+1&=x-1+2\sqrt{x-1}+1. \end{aligned}

Thus

2\sqrt{x-1}=1,

so

x-1=\frac{1}{4}

and

x=\frac{5}{4}.

This value satisfies the original equation. Therefore

4x=5.

Thus, the correct answer is A.

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