1957 AMC 12 第 24 题

Question

用一个两位数的平方减去将其数字倒序所得两位数的平方，结果不一定能被下列哪一项整除？

If the square of a number of two digits is decreased by the square of the number formed by reversing the digits, then the result is not always divisible by:

9

两个数字的积

the product of the digits

两个数字的和

the sum of the digits

两个数字的差

the difference of the digits

11

答案：B

知识点：数字平方差整除性

难度评级：1590

小提示：

将原数表示为

10a+b

，倒序后的数表示为

10b+a

Represent the number as

10a+b

and its reversal as

10b+a

大提示：

将两数平方之差完全因式分解

Factor the difference of their squares completely

解答：

若两个数字为

a,b

，则

\begin{aligned} &(10a+b)^2-(10b+a)^2\\ &\quad=[9(a-b)][11(a+b)]\\ &\quad=99(a-b)(a+b) \end{aligned}\text{。}

这个结果总能被

9

、

11

、两个数字的和以及两个数字的差整除，但不一定能被两个数字的积整除。例如，

21^2-12^2=297

不能被

2

整除。

因此，正确答案是 B。

If the digits are

a,b,

then

\begin{aligned} &(10a+b)^2-(10b+a)^2\\ &\quad=[9(a-b)][11(a+b)]\\ &\quad=99(a-b)(a+b). \end{aligned}

This is always divisible by

9,

11,

the digit sum, and the digit difference. It need not be divisible by the digit product; for example,

21^2-12^2=297

is not divisible by

2.

Thus, the correct answer is B.

1957 AMC 12 第 24 题

答案：B

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

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