1958 AMC 12 第 19 题

Question

直角三角形的两条直角边为

a

和

b

，斜边为

c

。从直角顶点向斜边作垂线，将

c

分成线段

r

和

s

，它们分别与

a

和

b

相邻。若

a:b=1:3

，则

r

与

s

之比为：

The sides of a right triangle are

a

and

b

and the hypotenuse is

c.

A perpendicular from the vertex divides

c

into segments

r

and

s,

adjacent respectively to

a

and

b.

If

a:b=1:3,

then the ratio of

r

to

s

is:

1:3

1:9

1:10

3:10

1:\sqrt{10}

答案：B

知识点：直角三角形相似高线

难度评级：1360

小提示：

使用射影关系

a^2=cr

和

b^2=cs

Use the projection relations

a^2=cr

and

b^2=cs

大提示：

将两个射影方程相除，用

\frac{a}{b}

表示

\frac{r}{s}

Divide the two projection equations to express

\frac{r}{s}

in terms of

\frac{a}{b}

解答：

由斜边高所形成的相似三角形可得

a^2=cr,\qquad b^2=cs\text{。}

因此

\frac rs=\frac{a^2}{b^2} =\left(\frac13\right)^2=\frac19\text{。}

所以正确答案为 B。

Similarity from the altitude-to-hypotenuse construction gives

a^2=cr,\qquad b^2=cs.

Therefore

\frac rs=\frac{a^2}{b^2} =\left(\frac13\right)^2=\frac19.

Thus, the correct answer is B.

1958 AMC 12 第 19 题

答案：B

难度评级：1360

小提示：

大提示：

解答：

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