1958 AMC 12 Problema 21

Question

En la figura,

\overline{CE}

y

\overline{DE}

son cuerdas iguales de un círculo con centro

O.

El arco

AB

es un cuarto de círculo. La razón entre el área del triángulo

CED

y la del triángulo

AOB

es:

In the accompanying figure

\overline{CE}

and

\overline{DE}

are equal chords of a circle with center

O.

Arc

AB

is a quarter-circle. Then the ratio of the area of triangle

CED

to the area of triangle

AOB

is:

\sqrt2:1

\sqrt3:1

4:1

3:1

2:1

Respuesta: E

Conceptos:cuerda círculo área del triángulo razón de áreas

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Las cuerdas iguales desde

E

hacen que el triángulo sea simétrico respecto del diámetro perpendicular

The equal chords from

E

make the pictured triangle symmetric about the perpendicular diameter

Pista grande:

Compara las áreas por base y altura en función del radio del círculo

Compare each triangle’s base-height area in terms of the circle radius

Solución:

Sea

r

el radio. En la figura,

\overline{CD}

es un diámetro y

E

es el extremo del radio perpendicular, así que

[CED]=\frac12(2r)(r)=r^2.

Como el arco

AB

es un cuarto de círculo,

\angle AOB=90^\circ,

y

[AOB]=\frac12r^2.

La razón pedida es

2:1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the circle have radius

r.

In the pictured configuration,

\overline{CD}

is a diameter and

E

is the endpoint of the perpendicular radius, so

[CED]=\frac12(2r)(r)=r^2.

Since arc

AB

is a quarter-circle,

\angle AOB=90^\circ,

and

[AOB]=\frac12r^2.

The requested ratio is therefore

2:1.

Thus, the correct answer is E.