1959 AMC 12 Problema 7

Question

Los lados de un triángulo rectángulo son

a,

a+d,

y

a+2d,

donde

a

y

d

son positivos. La razón de

a

a

d

es:

The sides of a right triangle are

a,

a+d,

and

a+2d,

with

a

and

d

both positive. The ratio of

a

to

d

is:

1{:}3

1{:}4

2{:}1

3{:}1

3{:}4

El lado más largo

a+2d

debe ser la hipotenusa

The longest side

a+2d

must be the hypotenuse

Aplica el teorema de Pitágoras y factoriza la cuadrática resultante en

\frac{a}{d}

Apply the Pythagorean theorem and factor the resulting quadratic in

\frac{a}{d}

El teorema de Pitágoras da

a^2+(a+d)^2=(a+2d)^2.

Al simplificar,

\begin{aligned} a^2-2ad-3d^2 &=0,\\ (a-3d)(a+d) &=0. \end{aligned}

La positividad excluye

a=-d,

así que

a=3d.

Por lo tanto, la razón es

3:1,

y la respuesta correcta es D.

The Pythagorean theorem gives

a^2+(a+d)^2=(a+2d)^2.

Simplifying,

\begin{aligned} a^2-2ad-3d^2 &=0,\\ (a-3d)(a+d) &=0. \end{aligned}

Positivity excludes

a=-d,

so

a=3d.

Thus the ratio is

3:1,

and the correct answer is D.

El Problema 7 en otros años