1960 AMC 12 第 25 题

Question

设

m

和

n

为任意两个奇数，且

n

小于

m

。能整除所有可能的

m^2-n^2

的最大整数是：

Let

m

and

n

be any two odd numbers, with

n

less than

m.

The largest integer which divides all possible numbers of the form

m^2-n^2

is:

2

4

6

8

16

答案：D

知识点：整除性奇偶性平方差

难度评级：1280

小提示：

将

m^2-n^2

分解为两个偶数因子

Factor

m^2-n^2

into two even factors

大提示：

m-n

与

m+n

中有一个能被

4

整除；再检验一组较小的数

Among

m-n

and

m+n,

one is divisible by

4

; then test a small pair

解答：

有

m^2-n^2=(m-n)(m+n)\text{。}

两个因子都是偶数，其中一个能被

4

整除，所以每个这样的差都能被

8

整除。取

m=3,n=1

，得到

m^2-n^2=8

，这说明不存在总能整除它的更大整数。

因此，正确答案是 D。

We have

m^2-n^2=(m-n)(m+n).

Both factors are even, and one is divisible by

4,

so every such difference is divisible by

8.

Taking

m=3,n=1

gives

m^2-n^2=8,

proving that no larger integer always divides it.

Thus, the correct answer is D.

1960 AMC 12 第 25 题

答案：D

难度评级：1280

小提示：

大提示：

解答：

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