1960 AMC 12 Problema 25

Question

Sean

m

y

n

dos números impares cualesquiera, con

n

menor que

m.

El mayor entero que divide todos los números posibles de la forma

m^2-n^2

es:

Let

m

and

n

be any two odd numbers, with

n

less than

m.

The largest integer which divides all possible numbers of the form

m^2-n^2

is:

2

4

6

8

16

Respuesta: D

Conceptos:divisibilidad paridad diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Factoriza

m^2-n^2

en dos factores pares

Factor

m^2-n^2

into two even factors

Pista grande:

Entre

m-n

y

m+n,

uno es divisible por

4

; después prueba un par pequeño

Among

m-n

and

m+n,

one is divisible by

4

; then test a small pair

Solución:

Tenemos

m^2-n^2=(m-n)(m+n).

Ambos factores son pares y uno es divisible por

4,

así que toda diferencia de este tipo es divisible por

8.

Al tomar

m=3,n=1

se obtiene

m^2-n^2=8,

lo que demuestra que ningún entero mayor la divide siempre.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have

m^2-n^2=(m-n)(m+n).

Both factors are even, and one is divisible by

4,

so every such difference is divisible by

8.

Taking

m=3,n=1

gives

m^2-n^2=8,

proving that no larger integer always divides it.

Thus, the correct answer is D.