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1964 AMC 12 第 21 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

21.

若

\log_{b^2}x+\log_{x^2}b=1

，其中

b\gt0

、

b\ne1

且

x\ne1

，则

x

等于：

If

\log_{b^2}x+\log_{x^2}b=1,

where

b\gt0,

b\ne1,

and

x\ne1,

then

x

equals:

\dfrac1{b^2}

\dfrac1b

b^2

b

\sqrt b

答案：D

知识点：对数换元法代数变形

难度评级：1450

小提示：

令

t=\log_bx

Let

t=\log_bx

大提示：

方程化为

\frac t2+\frac1{2t}=1

The equation becomes

\frac t2+\frac1{2t}=1

解答：

令

t=\log_bx

。则

\log_{b^2}x=\frac{t}{2}

且

\log_{x^2}b=\frac{1}{2t}

。因此

t+\frac1t=2\text{，}

所以

(t-1)^2=0

且

t=1

。故

x=b

。

因此，正确答案是 D。

Let

t=\log_bx.

Then

\log_{b^2}x=\frac{t}{2}

and

\log_{x^2}b=\frac{1}{2t}.

Thus

t+\frac1t=2,

so

(t-1)^2=0

and

t=1.

Hence

x=b.

Therefore, the correct answer is D.

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