1964 AMC 12 Problema 25

Question

El conjunto de valores de

m

para los cuales

x^2+3xy+x+my-m

tiene dos factores de coeficientes enteros, lineales en

x

y

y,

es exactamente:

The set of values of

m

for which

x^2+3xy+x+my-m

has two factors, with integer coefficients, which are linear in

x

and

y,

is precisely:

0,

12,

-12

0,

12

12,

-12

12

0

Respuesta: B

Conceptos:factorización polinomio sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Escribe los factores como

(x+ay+b)(x+cy+d)

Write the factors as

(x+ay+b)(x+cy+d)

Pista grande:

La ausencia del término

y^2

y el término

3xy

obligan a que

\{a,c\}=\{0,3\}

The missing

y^2

-term and the

3xy

-term force

\{a,c\}=\{0,3\}

Solución:

Escribe la factorización como

(x+ay+b)(x+cy+d).

Al comparar los coeficientes de

y^2

y

xy

se obtiene

ac=0

y

a+c=3,

así que toma

a=0,

c=3.

Los otros coeficientes dan

\begin{aligned} b+d&=1,\\ bd&=-m,\\ 3b&=m. \end{aligned}

Por tanto,

b(d+3)=0.

Si

b=0,

entonces

m=0;

en caso contrario,

d=-3,

b=4,

y

m=12.

Ambos valores producen factorizaciones enteras válidas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Write the factorization as

(x+ay+b)(x+cy+d).

Comparing the

y^2

and

xy

coefficients gives

ac=0

and

a+c=3,

so take

a=0,

c=3.

The other coefficients give

\begin{aligned} b+d&=1,\\ bd&=-m,\\ 3b&=m. \end{aligned}

Hence

b(d+3)=0.

If

b=0,

then

m=0;

otherwise

d=-3,

b=4,

and

m=12.

Both values produce valid integer factorizations.

Therefore, the correct answer is B.