1965 AMC 12 Problema 19

Question

Si

x^4+4x^3+6px^2+4qx+r

es divisible exactamente por

x^3+3x^2+9x+3,

el valor de

(p+q)r

es:

If

x^4+4x^3+6px^2+4qx+r

is exactly divisible by

x^3+3x^2+9x+3,

the value of

(p+q)r

is:

-18

12

15

27

45

El cociente debe ser mónico y lineal

The quotient must be monic and linear

Resta

(x+1)(x^3+3x^2+9x+3)

y compara coeficientes

Subtract

(x+1)(x^3+3x^2+9x+3)

and compare coefficients

Los términos principales obligan a que el cociente sea

x+1.

Al desarrollar,

\begin{aligned} &(x+1)(x^3+3x^2+9x+3)\\ &\quad=x^4+4x^3+12x^2+12x+3. \end{aligned}

Así,

6p=12,\ 4q=12,\ r=3,

de modo que

p=2,\ q=3

y

(p+q)r=15.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The leading terms force quotient

x+1.

Expanding,

\begin{aligned} &(x+1)(x^3+3x^2+9x+3)\\ &\quad=x^4+4x^3+12x^2+12x+3. \end{aligned}

Thus

6p=12,\ 4q=12,\ r=3,

so

p=2,\ q=3

and

(p+q)r=15.

Therefore, the correct answer is C.

El Problema 19 en otros años