1966 AMC 12 Problema 21

Question

Se forma una “estrella de

n

puntas” así: los lados de un polígono convexo se numeran consecutivamente

1,

2,

\ldots,

k,

\ldots,

n,

n\geq5;

para los

n

valores de

k,

los lados

k

y

k+2

no son paralelos, y los lados

n+1

y

n+2

son respectivamente idénticos a los lados

1

y

2;

se prolongan los

n

pares de lados numerados

k

y

k+2

hasta que se corten. (Se muestra una figura para el caso

n=5.

)

Sea

S

la suma en grados de los ángulos interiores en las

n

puntas de la estrella; entonces

S

es igual a:

An “

n

-pointed star” is formed as follows: the sides of a convex polygon are numbered consecutively

1,

2,

\ldots,

k,

\ldots,

n,

n\geq5;

for all

n

values of

k,

sides

k

and

k+2

are non-parallel, sides

n+1

and

n+2

being respectively identical with sides

1

and

2;

prolong the

n

pairs of sides numbered

k

and

k+2

until they meet. (A figure is shown for the case

n=5.

)

Let

S

be the degree-sum of the interior angles at the

n

points of the star; then

S

equals:

180

360

180(n+2)

180(n-2)

180(n-4)

Respuesta: E

Conceptos:persecución de ángulos suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Relaciona cada ángulo de una punta con dos ángulos interiores adyacentes del polígono original

Relate each star-tip angle to two adjacent interior angles of the original polygon

Pista grande:

La suma de los ángulos interiores del polígono original es

180(n-2)

grados

The original polygon’s interior-angle sum is

180(n-2)

degrees

Solución:

Sean

a_1,\ldots,a_n.

los ángulos interiores del polígono original. El ángulo de la estrella formado por los lados

k

y

k+2

es

a_k+a_{k+1}-180^\circ.

Al sumar cíclicamente se cuenta cada

a_k

dos veces. Por ello,

\begin{aligned} S&=2\sum_{k=1}^n a_k-180n\\ &=2\cdot180(n-2)-180n\\ &=180(n-4). \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the original polygon’s interior angles be

a_1,\ldots,a_n.

The star angle made from sides

k

and

k+2

equals

a_k+a_{k+1}-180^\circ.

Summing cyclically counts each

a_k

twice. Hence

\begin{aligned} S&=2\sum_{k=1}^n a_k-180n\\ &=2\cdot180(n-2)-180n\\ &=180(n-4). \end{aligned}

Therefore, the correct answer is E.