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1967 AMC 12 第 11 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

11.

若矩形

ABCD

的周长为

20

英寸，则对角线

AC

长度的最小值（单位：英寸）为：

If the perimeter of rectangle

ABCD

is

20

inches, the least value of diagonal

AC,

in inches, is:

0

\sqrt{50}

10

\sqrt{200}

以上都不是

none of these

答案：B

知识点：矩形勾股定理最优化

难度评级：1440

小提示：

若相邻两边长为

x

与

10-x

，求对角线长度的平方

If adjacent sides are

x

and

10-x,

square the diagonal

大提示：

将

x^2+(10-x)^2

配方

Complete the square in

x^2+(10-x)^2

解答：

设相邻两边长为

x

与

10-x

。则

\begin{aligned} AC^2&=x^2+(10-x)^2\\ &=2(x-5)^2+50 \end{aligned}\text{。}

当

x=5

时该式最小，从而

AC=\sqrt{50}

。

因此，正确答案是 B。

Let adjacent sides be

x

and

10-x.

Then

\begin{aligned} AC^2&=x^2+(10-x)^2\\ &=2(x-5)^2+50. \end{aligned}

This is minimized at

x=5,

giving

AC=\sqrt{50}.

Therefore, the correct answer is B.

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