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1967 AMC 12 第 25 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

25.

对每个奇数

p\gt1

，都有：

For every odd number

p\gt1

we have:

(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1

能被

p-2

整除

(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1

is divisible by

p-2

(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1

能被

p

整除

(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1

is divisible by

p

(p-1)^{\frac{p-1}{2}}

能被

p

整除

(p-1)^{\frac{p-1}{2}}

is divisible by

p

(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1

能被

p+1

整除

(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1

is divisible by

p+1

(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1

能被

p-1

整除

(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1

is divisible by

p-1

答案：A

知识点：整除性模运算指数

难度评级：1500

小提示：

对选项 (A) 模

p-2

计算

Work modulo

p-2

for choice (A)

大提示：

因为

p-1\equiv1\pmod{p-2}

，每个正整数次幂都有相同的余数

Since

p-1\equiv1\pmod{p-2},

every positive power has the same residue

解答：

因为

p\gt1

为奇数，所以

n=\frac{p-1}{2}

是正整数。模

p-2

时，有

p-1\equiv1

。因此

\begin{aligned} (p-1)^n-1 &\equiv1^n-1\\ &\equiv0\pmod{p-2} \end{aligned}\text{。}

所以选项 (A) 总是成立。

因此，正确答案是 A。

Because

p\gt1

is odd,

n=\frac{p-1}{2}

is a positive integer. Modulo

p-2,

we have

p-1\equiv1.

Therefore

\begin{aligned} (p-1)^n-1 &\equiv1^n-1\\ &\equiv0\pmod{p-2}. \end{aligned}

Thus choice (A) always holds.

Therefore, the correct answer is A.

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