1970 AMC 12 第 19 题

Question

一个公比为

r

、满足

|r|\lt1

的无穷等比级数的和为

15

，而该级数各项平方的和为

45

。该级数的首项是：

The sum of an infinite geometric series with common ratio

r

such that

|r|\lt1

is

15,

and the sum of the squares of the terms of this series is

45.

The first term of the series is:

12

10

5

3

2

答案：C

知识点：等比数列方程组代数变形

难度评级：1990

小提示：

设首项为

a

，根据两个无穷和分别列方程

If the first term is

a,

write one equation for each infinite sum

大提示：

利用

\frac{a}{1-r}=15

和

\frac{a^2}{1-r^2}=45

，再约去因式

1-r

Use

\frac{a}{1-r}=15

and

\frac{a^2}{1-r^2}=45

, then cancel a factor of

1-r

解答：

设首项为

a

。则

\frac{a}{1-r}=15,\qquad \frac{a^2}{1-r^2}=45\text{。}

因为

1-r^2=(1-r)(1+r)

，用第二个方程除以第一个方程，得到

\frac{a}{1+r}=3

。因此

a=15(1-r)=3(1+r)\text{。}

解得

r=\frac{2}{3}

，且

a=5

。

因此，正确答案是 C。

Let the first term be

a.

Then

\frac{a}{1-r}=15,\qquad \frac{a^2}{1-r^2}=45.

Since

1-r^2=(1-r)(1+r),

dividing the second equation by the first gives

\frac{a}{1+r}=3.

Thus

a=15(1-r)=3(1+r).

Solving gives

r=\frac{2}{3}

and

a=5.

Therefore, the correct answer is C.

1970 AMC 12 第 19 题

答案：C

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

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