1970 AMC 12 Problema 7

Question

Dentro del cuadrado

ABCD

de lado

s,

se trazan arcos de un cuarto de círculo de radio

s

con centros en

A

y

B.

Estos arcos se cortan en un punto

X

dentro del cuadrado. ¿A qué distancia está

X

del lado

CD

?

Inside square

ABCD

with side

s,

quarter-circle arcs with radii

s

and centers at

A

and

B

are drawn. These arcs intersect at a point

X

inside the square. How far is

X

from side

CD?

\tfrac12s(\sqrt3+4)

\tfrac12s\sqrt3

\tfrac12s(1+\sqrt3)

\tfrac12s(\sqrt3-1)

\tfrac12s(2-\sqrt3)

Respuesta: E

Conceptos:triángulo equilátero altura cuadrado (geometría)círculo

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Los dos radios que llegan a

X

y el lado

AB

forman un triángulo equilátero

The two radii to

X

and side

AB

form an equilateral triangle

Pista grande:

La altura desde

X

hasta

AB

es

\frac{s\sqrt3}{2}

; réstala de la altura del cuadrado

The altitude from

X

to

AB

is

\frac{s\sqrt3}{2}

; subtract it from the square’s height

Solución:

Como

AX=BX=AB=s,

el triángulo

ABX

es equilátero. Por lo tanto, la distancia perpendicular de

X

a

AB

es

\frac{s\sqrt3}{2}.

La distancia entre los lados paralelos

AB

y

CD

es

s,

así que la distancia pedida es

s-\frac{s\sqrt3}{2}=\frac s2(2-\sqrt3).

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since

AX=BX=AB=s,

triangle

ABX

is equilateral. Thus the perpendicular distance from

X

to

AB

is

\frac{s\sqrt3}{2}.

The distance between the parallel sides

AB

and

CD

is

s,

so the requested distance is

s-\frac{s\sqrt3}{2}=\frac s2(2-\sqrt3).

Therefore, the correct answer is E.