1971 AMC 12 第 11 题

Question

a

进制数

47

与

b

进制数

74

表示同一个数。假设两个进制的基数都是正整数，则

a+b

的最小可能值写成罗马数字是：

The numeral

47

in base

a

represents the same number as

74

in base

b.

Assuming both bases are positive integers, the least possible value of

a+b,

written as a Roman numeral, is:

\mathrm{XIII}

\mathrm{XV}

\mathrm{XXI}

\mathrm{XXIV}

\mathrm{XVI}

答案：D

知识点：进制丢番图方程模运算

难度评级：1850

小提示：

把这两个进制数写成等式

4a+7=7b+4

Translate the numerals into

4a+7=7b+4

大提示：

两个基数都大于

7

；解

4a-7b=-3

，求最小的有效数对

Both bases exceed

7

; solve

4a-7b=-3

for the least valid pair

解答：

等式为

4a+7=7b+4

，即

4a-7b=-3

。由于两个数码都必须有效，所以

a,b\gt7

。模

7

化简得

a\equiv1\pmod7

。第一个有效值是

a=15

，对应

b=9

。因此

a+b=24

，写成罗马数字为

\mathrm{XXIV}

。

因此，正确答案为 D。

The equality is

4a+7=7b+4,

or

4a-7b=-3.

Since both digits must be valid,

a,b\gt7.

Reducing modulo

7

gives

a\equiv1\pmod7.

The first valid value is

a=15,

which gives

b=9.

Thus

a+b=24,

written

\mathrm{XXIV}.

Therefore, the correct answer is D.

1971 AMC 12 第 11 题

答案：D

难度评级：1850

小提示：

大提示：

解答：

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