1972 AMC 12 第 10 题

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10.

对实数 xx,不等式 1≤∣x−2∣≤71\le\lvert x-2\rvert\le7 等价于:
For xx real, the inequality 1≤∣x−2∣≤71\le\lvert x-2\rvert\le7 is equivalent to:
x≤1x\le1 或 x≥3x\ge3
x≤1x\le1 or x≥3x\ge3
1≤x≤31\le x\le3
−5≤x≤9-5\le x\le9
−5≤x≤1-5\le x\le1 或 3≤x≤93\le x\le9
−5≤x≤1-5\le x\le1 or 3≤x≤93\le x\le9
−6≤x≤1-6\le x\le1 或 3≤x≤103\le x\le10
−6≤x≤1-6\le x\le1 or 3≤x≤103\le x\le10
答案:D
知识点:绝对值不等式分类讨论
小提示:
上界表示 xx 与 22 的距离不超过 77
The upper bound places xx within 77 units of 22
大提示:
下界排除了与 22 距离小于 11 的开区间
The lower bound removes the open interval of points less than 11 unit from 22
解答:
条件 ∣x−2∣≤7\lvert x-2\rvert\le7 给出 −5≤x≤9-5\le x\le9。条件 ∣x−2∣≥1\lvert x-2\rvert\ge1 给出 x≤1x\le1 或 x≥3x\ge3。二者的交集为 [−5,1]∪[3,9]。 [-5,1]\cup[3,9]\text{。}
因此,正确答案是 D。
The condition ∣x−2∣≤7\lvert x-2\rvert\le7 gives −5≤x≤9.-5\le x\le9. The condition ∣x−2∣≥1\lvert x-2\rvert\ge1 gives x≤1x\le1 or x≥3.x\ge3. Their intersection is [−5,1]∪[3,9]. [-5,1]\cup[3,9].
Therefore, the correct answer is D.
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