1973 AMC 12 Problema 18

Question

Si

p\ge5

es un número primo, entonces

24

divide a

p^2-1

sin residuo

If

p\ge5

is a prime number, then

24

divides

p^2-1

without remainder

nunca

never

solo algunas veces

sometimes only

siempre

always

solo si

p=5

only if

p=5

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C

Conceptos:divisibilidad primo aritmética modular

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Factoriza

p^2-1=(p-1)(p+1)

Factor

p^2-1=(p-1)(p+1)

Pista grande:

Entre los tres enteros consecutivos

p-1,

p,

p+1,

localiza factores de

3

y

8

Among the three consecutive integers

p-1,

p,

p+1,

locate factors of

3

and

8

Solución:

Un primo

p\ge5

es impar, así que

p-1

y

p+1

son enteros pares consecutivos. Uno de ellos es divisible por

4,

por lo que su producto es divisible por

8.

Entre los tres enteros consecutivos

p-1,

p,

p+1,

uno es divisible por

3.

No puede ser

p,

pues

p\ge5

es primo, así que

3

también divide a

(p-1)(p+1).

Como

3

y

8

son coprimos,

(p-1)(p+1)=p^2-1

siempre es divisible por

24.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A prime

p\ge5

is odd, so

p-1

and

p+1

are consecutive even integers. One is divisible by

4,

making their product divisible by

8.

Among the three consecutive integers

p-1,

p,

p+1,

one is divisible by

3.

It cannot be

p,

since

p\ge5

is prime, so

3

also divides

(p-1)(p+1).

Because

3

and

8

are relatively prime,

(p-1)(p+1)=p^2-1

is always divisible by

24.

Therefore, the correct answer is C.