1973 AMC 12 Problema 6

Question

Si

554

es la representación en base

b

del cuadrado del número cuya representación en base

b

es

24,

entonces

b,

escrito en base

10,

es igual a

If

554

is the base

b

representation of the square of the number whose base

b

representation is

24,

then

b,

when written in base

10,

equals

6

8

12

14

16

Convierte

24_b

y

554_b

en expresiones polinómicas en base diez

Translate

24_b

and

554_b

into base-ten polynomial expressions

Después de resolver la cuadrática resultante, recuerda que una base que contiene el dígito

5

debe ser mayor que

5

After solving the resulting quadratic, enforce that a base containing digit

5

must exceed

5

En base diez,

\begin{aligned} 24_b&=2b+4,\\ 554_b&=5b^2+5b+4. \end{aligned}

Por lo tanto,

\begin{aligned} (2b+4)^2&=5b^2+5b+4,\\ b^2-11b-12&=0,\\ (b-12)(b+1)&=0. \end{aligned}

Una base es positiva y debe ser mayor que

5,

así que

b=12.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

In base ten,

\begin{aligned} 24_b&=2b+4,\\ 554_b&=5b^2+5b+4. \end{aligned}

Therefore

\begin{aligned} (2b+4)^2&=5b^2+5b+4,\\ b^2-11b-12&=0,\\ (b-12)(b+1)&=0. \end{aligned}

A base is positive and must exceed

5,

so

b=12.

Therefore, the correct answer is C.

El Problema 6 en otros años