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1974 AMC 12 第 12 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

12.

若

g(x)=1-x^2

，且

f(g(x))=\frac{1-x^2}{x^2}

在

x\ne0

时成立，则

f(\frac{1}{2})

等于

If

g(x)=1-x^2

and

f(g(x))=\frac{1-x^2}{x^2}

when

x\ne0,

then

f(\frac{1}{2})

equals

\frac{3}{4}

1

3

\frac{\sqrt2}{2}

\sqrt2

答案：B

知识点：函数换元法

难度评级：1620

小提示：

选取一个非零

x

，使

g(x)=\frac{1}{2}

Choose a nonzero

x

for which

g(x)=\frac{1}{2}

大提示：

方程

1-x^2=\frac{1}{2}

可直接确定

x^2

The equation

1-x^2=\frac{1}{2}

determines

x^2

directly

解答：

若

g(x)=\frac{1}{2}

，则

x^2=\frac{1}{2}

，对应的两个

x

都非零。因此

f(\frac{1}{2})=\frac{1-x^2}{x^2} =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1\text{。}

因此，正确答案是 B。

If

g(x)=\frac{1}{2},

then

x^2=\frac{1}{2},

and either corresponding

x

is nonzero. Hence

f(\frac{1}{2})=\frac{1-x^2}{x^2} =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1.

Therefore, the correct answer is B.

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