1970 AMC 12 第 12 题

Question

一个半径为

r

的圆与矩形

ABCD

的边

AB

、

AD

和

CD

相切，并经过对角线

AC

的中点。用

r

表示矩形的面积为：

A circle with radius

r

is tangent to sides

AB,

AD,

and

CD

of rectangle

ABCD

and passes through the midpoint of diagonal

AC.

The area of the rectangle, in terms of

r,

is:

4r^2

6r^2

8r^2

12r^2

20r^2

答案：C

知识点：矩形相切圆中点面积

难度评级：2090

小提示：

圆与两条对边相切，所以矩形的一条边长为

2r

Tangency to the two opposite sides makes one side of the rectangle equal to

2r

大提示：

从第三个切点经过圆心的直线平分对角线，使相应的弦成为直径

The line from the third tangency point through the center bisects the diagonal, making the corresponding chord a diameter

解答：

圆与平行边

AB

和

CD

相切。两边之间的距离就是圆的直径，所以

AD=BC=2r

。设

R

为

AD

上的切点，

Q

为圆心，

M

为

AC

的中点。

直线

RQ

平行于

AB

，并且位于

AB

与

CD

的正中间，所以

R

是

AD

的中点，且该直线经过

M

。由于

M

在圆上，且

R,Q,M

共线，所以

RM=2r

。因此

RM

是三角形

ADC

的中位线，从而

DC=2RM=4r

。所以面积为

(2r)(4r)=8r^2\text{。}

因此，正确答案是 C。

Let the circle be tangent to the parallel sides

AB

and

CD.

Their separation is its diameter, so

AD=BC=2r.

Let

R

be the tangency point on

AD,

let

Q

be the center, and let

M

be the midpoint of

AC.

The line

RQ

is parallel to

AB

and halfway between

AB

and

CD,

so

R

is the midpoint of

AD

and the line contains

M.

Since

M

lies on the circle and

R,Q,M

are collinear,

RM=2r.

Thus

RM

is a midsegment of triangle

ADC,

so

DC=2RM=4r.

Therefore the area is

(2r)(4r)=8r^2.

Therefore, the correct answer is C.

1970 AMC 12 第 12 题

答案：C

难度评级：2090

小提示：

大提示：

解答：

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