1980 AMC 12 第 12 题

Question

直线

L_1

和

L_2

的方程分别为

y=mx

和

y=nx

。设

L_1

与水平方向的夹角（从正

x

轴起逆时针测量）是

L_2

与水平方向夹角的两倍，并且

L_1

的斜率是

L_2

斜率的

4

倍。若

L_1

不是水平线，则

mn

等于

The equations of

L_1

and

L_2

are

y=mx

and

y=nx,

respectively. Suppose

L_1

makes twice as large an angle with the horizontal (measured counterclockwise from the positive

x

-axis) as does

L_2,

and that

L_1

has

4

times the slope of

L_2.

If

L_1

is not horizontal, then

mn

is

\frac{\sqrt2}{2}

-\frac{\sqrt2}{2}

2

-2

由所给信息不能唯一确定

not uniquely determined by the given information

答案：C

知识点：斜率三角恒等式方程组

难度评级：1980

小提示：

设

L_2

的倾角为

\theta

Let the angle of inclination of

L_2

be

\theta

大提示：

把

m=4n

代入

\tan(2\theta)=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}

Substitute

m=4n

into

\tan(2\theta)=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}

解答：

令

\tan\theta=n

。则

m=\tan(2\theta)

，并且

m=4n

。因此

4n=\frac{2n}{1-n^2}\text{。}

由非水平条件可知

n\ne0

，所以

2(1-n^2)=1

，即

n^2=\frac{1}{2}

。因此

mn=4n^2=2

。

因此，正确答案是 C。

Let

\tan\theta=n.

Then

m=\tan(2\theta)

and also

m=4n.

Hence

4n=\frac{2n}{1-n^2}.

The nonhorizontal condition gives

n\ne0,

so

2(1-n^2)=1,

or

n^2=\frac{1}{2}.

Thus

mn=4n^2=2.

Therefore, the correct answer is C.

1980 AMC 12 第 12 题

答案：C

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

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