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1974 AMC 12 第 20 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

令

\begin{aligned} T={}&\frac1{3-\sqrt8} -\frac1{\sqrt8-\sqrt7}\\ &+\frac1{\sqrt7-\sqrt6} -\frac1{\sqrt6-\sqrt5}\\ &+\frac1{\sqrt5-2} \end{aligned}\text{，}

则

Let

\begin{aligned} T={}&\frac1{3-\sqrt8} -\frac1{\sqrt8-\sqrt7}\\ &+\frac1{\sqrt7-\sqrt6} -\frac1{\sqrt6-\sqrt5}\\ &+\frac1{\sqrt5-2}; \end{aligned}

then

T\lt1

T=1

1\lt T\lt2

T\gt2

\displaystyle T=\frac1{\substack{(3-\sqrt8)(\sqrt8-\sqrt7)(\sqrt7-\sqrt6)\\ {}\cdot(\sqrt6-\sqrt5)(\sqrt5-2)}}

答案：D

知识点：分母有理化裂项相消

难度评级：1740

小提示：

分别将每个分母有理化

Rationalize each denominator separately

大提示：

每个分母都是两个平方相差

1

的平方根之差

Every denominator is a difference of square roots whose squares differ by

1

解答：

将五项的分母有理化，得

\begin{aligned} T={}&(3+\sqrt8)-(\sqrt8+\sqrt7)\\ &+(\sqrt7+\sqrt6)-(\sqrt6+\sqrt5)\\ &+(\sqrt5+2)=5 \end{aligned}\text{。}

因此

T\gt2

。

因此，正确答案是 D。

Rationalizing the five terms gives

\begin{aligned} T={}&(3+\sqrt8)-(\sqrt8+\sqrt7)\\ &+(\sqrt7+\sqrt6)-(\sqrt6+\sqrt5)\\ &+(\sqrt5+2)=5. \end{aligned}

Thus

T\gt2.

Therefore, the correct answer is D.

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