1974 AMC 12 Problema 20

Question

Sea

\begin{aligned} T={}&\frac1{3-\sqrt8} -\frac1{\sqrt8-\sqrt7}\\ &+\frac1{\sqrt7-\sqrt6} -\frac1{\sqrt6-\sqrt5}\\ &+\frac1{\sqrt5-2}; \end{aligned}

entonces

Let

\begin{aligned} T={}&\frac1{3-\sqrt8} -\frac1{\sqrt8-\sqrt7}\\ &+\frac1{\sqrt7-\sqrt6} -\frac1{\sqrt6-\sqrt5}\\ &+\frac1{\sqrt5-2}; \end{aligned}

then

T\lt1

T=1

1\lt T\lt2

T\gt2

\displaystyle T=\frac1{\substack{(3-\sqrt8)(\sqrt8-\sqrt7)(\sqrt7-\sqrt6)\\ {}\cdot(\sqrt6-\sqrt5)(\sqrt5-2)}}

Racionaliza cada denominador por separado

Rationalize each denominator separately

Cada denominador es una diferencia de raíces cuadradas cuyos cuadrados difieren en

1

Every denominator is a difference of square roots whose squares differ by

1

Al racionalizar los cinco términos se obtiene

\begin{aligned} T={}&(3+\sqrt8)-(\sqrt8+\sqrt7)\\ &+(\sqrt7+\sqrt6)-(\sqrt6+\sqrt5)\\ &+(\sqrt5+2)=5. \end{aligned}

Por tanto,

T\gt2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Rationalizing the five terms gives

\begin{aligned} T={}&(3+\sqrt8)-(\sqrt8+\sqrt7)\\ &+(\sqrt7+\sqrt6)-(\sqrt6+\sqrt5)\\ &+(\sqrt5+2)=5. \end{aligned}

Thus

T\gt2.

Therefore, the correct answer is D.

El Problema 20 en otros años