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1974 AMC 12 第 25 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

25.

在附图的平行四边形

ABCD

中，直线

DP

平分

BC

于

N

，并与

AB

的延长线交于

P

。从顶点

C

作直线

CQ

，它平分边

AD

于

M

，并与

AB

的延长线交于

Q

。直线

DP

与

CQ

相交于

O

。若平行四边形

ABCD

的面积为

k

，则三角形

QPO

的面积等于

In parallelogram

ABCD

of the accompanying diagram, line

DP

is drawn bisecting

BC

at

N

and meeting

AB

(extended) at

P.

From vertex

C,

line

CQ

is drawn bisecting side

AD

at

M

and meeting

AB

(extended) at

Q.

Lines

DP

and

CQ

meet at

O.

If the area of parallelogram

ABCD

is

k,

then the area of triangle

QPO

is equal to

k

\frac{6k}{5}

\frac{9k}{8}

\frac{5k}{4}

2k

答案：C

知识点：平行四边形坐标几何三角形面积

难度评级：2100

小提示：

取

A=(0,0)

、

B=(1,0)

、

D=(u,v)

和

C=(u+1,v)

Use

A=(0,0),

B=(1,0),

D=(u,v),

and

C=(u+1,v)

大提示：

两条中点连线与基线分别交于

Q=(-1,0)

和

P=(2,0)

；再求

O

的高度

The midpoint lines meet the baseline at

Q=(-1,0)

and

P=(2,0)

; then find

O

’s height

解答：

选取坐标

A=(0,0)

、

B=(1,0)

、

D=(u,v)

和

C=(u+1,v)

，于是

k=v

。两个中点为

\begin{aligned} M&=(\frac{u}{2},\frac{v}{2}),\\ N&=(1+\frac{u}{2},\frac{v}{2}) \end{aligned}\text{。}

将

CM

和

DN

延长至

y=0

，可得

Q=(-1,0)

和

P=(2,0)

。

将

DP

与

CQ

参数化，可得它们的交点为

O=(\frac{3u}{4}+\frac{1}{2},\frac{3v}{4})

。因此

QP=3

，从

O

到基线的高为

\frac{3v}{4}

，所以

\begin{aligned} [QPO]&=\frac12(3)\left(\frac{3v}{4}\right)\\ &=\frac{9v}{8}=\frac{9k}{8} \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 C。

Choose coordinates

A=(0,0),

B=(1,0),

D=(u,v),

and

C=(u+1,v),

so

k=v.

The midpoints are

\begin{aligned} M&=(\frac{u}{2},\frac{v}{2}),\\ N&=(1+\frac{u}{2},\frac{v}{2}). \end{aligned}

Extending

CM

and

DN

to

y=0

gives

Q=(-1,0)

and

P=(2,0).

Parameterizing

DP

and

CQ

shows their intersection is

O=(\frac{3u}{4}+\frac{1}{2},\frac{3v}{4}).

Thus

QP=3

and the height from

O

is

\frac{3v}{4},

so

\begin{aligned} [QPO]&=\frac12(3)\left(\frac{3v}{4}\right)\\ &=\frac{9v}{8}=\frac{9k}{8}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is C.

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