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1974 AMC 12 Problema 25

Intenta el Problema 25 del 1974 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1974 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

25.

En el paralelogramo

ABCD

del diagrama adjunto, se traza la recta

DP

, que biseca

BC

en

N

y corta a

AB

, prolongado, en

P.

Desde el vértice

C,

se traza la recta

CQ

, que biseca el lado

AD

en

M

y corta a

AB

, prolongado, en

Q.

Las rectas

DP

y

CQ

se cortan en

O.

Si el área del paralelogramo

ABCD

es

k,

entonces el área del triángulo

QPO

es igual a

In parallelogram

ABCD

of the accompanying diagram, line

DP

is drawn bisecting

BC

at

N

and meeting

AB

(extended) at

P.

From vertex

C,

line

CQ

is drawn bisecting side

AD

at

M

and meeting

AB

(extended) at

Q.

Lines

DP

and

CQ

meet at

O.

If the area of parallelogram

ABCD

is

k,

then the area of triangle

QPO

is equal to

k

\frac{6k}{5}

\frac{9k}{8}

\frac{5k}{4}

2k

Respuesta: C

Conceptos:paralelogramo geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Usa

A=(0,0),

B=(1,0),

D=(u,v),

y

C=(u+1,v)

Use

A=(0,0),

B=(1,0),

D=(u,v),

and

C=(u+1,v)

Pista grande:

Las rectas de los puntos medios cortan la base en

Q=(-1,0)

y

P=(2,0)

; luego halla la altura de

O

The midpoint lines meet the baseline at

Q=(-1,0)

and

P=(2,0)

; then find

O

’s height

Solución:

Elige las coordenadas

A=(0,0),

B=(1,0),

D=(u,v),

y

C=(u+1,v),

de modo que

k=v.

Los puntos medios son

\begin{aligned} M&=(\frac{u}{2},\frac{v}{2}),\\ N&=(1+\frac{u}{2},\frac{v}{2}). \end{aligned}

Al prolongar

CM

y

DN

hasta

y=0

, se obtiene

Q=(-1,0)

y

P=(2,0).

Al parametrizar

DP

y

CQ

, se ve que su intersección es

O=(\frac{3u}{4}+\frac{1}{2},\frac{3v}{4}).

Así,

QP=3

y la altura desde

O

es

\frac{3v}{4},

por lo que

\begin{aligned} [QPO]&=\frac12(3)\left(\frac{3v}{4}\right)\\ &=\frac{9v}{8}=\frac{9k}{8}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Choose coordinates

A=(0,0),

B=(1,0),

D=(u,v),

and

C=(u+1,v),

so

k=v.

The midpoints are

\begin{aligned} M&=(\frac{u}{2},\frac{v}{2}),\\ N&=(1+\frac{u}{2},\frac{v}{2}). \end{aligned}

Extending

CM

and

DN

to

y=0

gives

Q=(-1,0)

and

P=(2,0).

Parameterizing

DP

and

CQ

shows their intersection is

O=(\frac{3u}{4}+\frac{1}{2},\frac{3v}{4}).

Thus

QP=3

and the height from

O

is

\frac{3v}{4},

so

\begin{aligned} [QPO]&=\frac12(3)\left(\frac{3v}{4}\right)\\ &=\frac{9v}{8}=\frac{9k}{8}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is C.

El Problema 25 en otros años