1974 AMC 12 第 6 题

Question

对正实数

x

和

y

，定义

x*y=\frac{x\cdot y}{x+y}

，则

For positive real numbers

x

and

y

define

x*y=\frac{x\cdot y}{x+y};

then

运算“

*

”满足交换律，但不满足结合律

“

*

” is commutative but not associative

运算“

*

”满足结合律，但不满足交换律

“

*

” is associative but not commutative

运算“

*

”既不满足交换律，也不满足结合律

“

*

” is neither commutative nor associative

运算“

*

”既满足交换律，也满足结合律

“

*

” is commutative and associative

以上皆非

none of these

答案：D

知识点：自定义运算分数

难度评级：1740

小提示：

交换

x

与

y

后，公式显然不变

The formula is visibly unchanged when

x

and

y

are interchanged

大提示：

用倒数改写该运算：

\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y

Rewrite the operation through its reciprocal:

\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y

解答：

公式关于

x

、

y

对称，因此该运算满足交换律。此外，

\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y\text{。}

所以

(x*y)*z

和

x*(y*z)

的倒数都是

\frac1x+\frac1y+\frac1z

，故两者相等。该运算也满足结合律。

因此，正确答案是 D。

Symmetry in

x,

y

makes the operation commutative. Also,

\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y.

Thus both

(x*y)*z

and

x*(y*z)

have reciprocal

\frac1x+\frac1y+\frac1z,

so they are equal. The operation is associative too.

Therefore, the correct answer is D.

1974 AMC 12 第 6 题

答案：D

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

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