1974 AMC 12 Problema 6

Question

Para números reales positivos

x

e

y

, se define

x*y=\frac{x\cdot y}{x+y};

entonces

For positive real numbers

x

and

y

define

x*y=\frac{x\cdot y}{x+y};

then

“

*

” es conmutativa, pero no asociativa

“

*

” is commutative but not associative

“

*

” es asociativa, pero no conmutativa

“

*

” is associative but not commutative

“

*

” no es conmutativa ni asociativa

“

*

” is neither commutative nor associative

“

*

” es conmutativa y asociativa

“

*

” is commutative and associative

ninguna de estas

none of these

Respuesta: D

Conceptos:operación personalizada fracción

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

La fórmula no cambia al intercambiar

x

e

y

The formula is visibly unchanged when

x

and

y

are interchanged

Pista grande:

Reescribe la operación mediante su recíproco:

\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y

Rewrite the operation through its reciprocal:

\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y

Solución:

La simetría en

x,

y

hace que la operación sea conmutativa. Además,

\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y.

Así, tanto

(x*y)*z

como

x*(y*z)

tienen por recíproco

\frac1x+\frac1y+\frac1z,

por lo que son iguales. La operación también es asociativa.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Symmetry in

x,

y

makes the operation commutative. Also,

\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y.

Thus both

(x*y)*z

and

x*(y*z)

have reciprocal

\frac1x+\frac1y+\frac1z,

so they are equal. The operation is associative too.

Therefore, the correct answer is D.