1975 AMC 12 第 20 题

Question

如图，在三角形

ABC

中，

AB=4

、

AC=8

。若

M

是

BC

的中点且

AM=3

，则

BC

的长度是多少？

In the adjoining figure triangle

ABC

is such that

AB=4

and

AC=8.

If

M

is the midpoint of

BC

and

AM=3,

what is the length of

BC?

2\sqrt{26}

2\sqrt{31}

9

4+2\sqrt{13}

所给信息不足以求解

not enough information given to solve the problem

使用三角形三边与一条中线之间的关系

Use the relation between a triangle’s three sides and a median

阿波罗尼奥斯定理给出

AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)

Apollonius’ theorem gives

AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)

令

BM=CM=x

，则

BC=2x

。由阿波罗尼奥斯定理，

4^2+8^2=2(3^2+x^2)\text{。}

因此

80=18+2x^2,\ x^2=31

，从而

BC=2\sqrt{31}

。

因此，正确答案是 B。

Let

BM=CM=x,

so

BC=2x.

By Apollonius’ theorem,

4^2+8^2=2(3^2+x^2).

Hence

80=18+2x^2,\ x^2=31,

and

BC=2\sqrt{31}.

Therefore, the correct answer is B.

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