1975 AMC 12 Problema 20

Question

En la figura adjunta, el triángulo

ABC

cumple

AB=4

y

AC=8.

Si

M

es el punto medio de

BC

y

AM=3,

¿cuál es la longitud de

BC

?

In the adjoining figure triangle

ABC

is such that

AB=4

and

AC=8.

If

M

is the midpoint of

BC

and

AM=3,

what is the length of

BC?

2\sqrt{26}

2\sqrt{31}

9

4+2\sqrt{13}

no hay suficiente información para resolver el problema

not enough information given to solve the problem

Usa la relación entre los tres lados de un triángulo y una mediana

Use the relation between a triangle’s three sides and a median

El teorema de Apolonio da

AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)

Apollonius’ theorem gives

AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)

Sea

BM=CM=x,

de modo que

BC=2x.

Por el teorema de Apolonio,

4^2+8^2=2(3^2+x^2).

Por tanto,

80=18+2x^2,\ x^2=31,

y

BC=2\sqrt{31}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

BM=CM=x,

so

BC=2x.

By Apollonius’ theorem,

4^2+8^2=2(3^2+x^2).

Hence

80=18+2x^2,\ x^2=31,

and

BC=2\sqrt{31}.

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 20 en otros años