1976 AMC 12 Problema 25

Question

Para una sucesión

u_1,

u_2,

\ldots,

se define

\Delta^1(u_n)=u_{n+1}-u_n

y, para todos los enteros

k\gt1,

\Delta^k(u_n)=\Delta^1(\Delta^{k-1}(u_n)).

Si

u_n=n^3+n,

entonces

\Delta^k(u_n)=0

para todo

n

For a sequence

u_1,

u_2,

\ldots,

define

\Delta^1(u_n)=u_{n+1}-u_n

and, for all integers

k\gt1,

\Delta^k(u_n)=\Delta^1(\Delta^{k-1}(u_n)).

If

u_n=n^3+n,

then

\Delta^k(u_n)=0

for all

n

si

k=1

if

k=1

si

k=2,

pero no si

k=1

if

k=2,

but not if

k=1

si

k=3,

pero no si

k=2

if

k=3,

but not if

k=2

si

k=4,

pero no si

k=3

if

k=4,

but not if

k=3

para ningún valor de

k

for no value of

k

Respuesta: D

Conceptos:polinomio recursión reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Cada diferencia progresiva reduce en uno el grado de una sucesión polinómica

Each forward difference lowers the degree of a polynomial sequence by one

Pista grande:

Calcula hasta la tercera diferencia constante para ver cuándo aparece cero por primera vez

Compute through the constant third difference to see when zero first appears

Solución:

Directamente,

\begin{aligned} \Delta u_n&=3n^2+3n+2,\\ \Delta^2u_n&=6n+6,\\ \Delta^3u_n&=6,\\ \Delta^4u_n&=0. \end{aligned}

Por tanto, las cuartas diferencias se anulan para todo

n,

pero las terceras no.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Directly,

\begin{aligned} \Delta u_n&=3n^2+3n+2,\\ \Delta^2u_n&=6n+6,\\ \Delta^3u_n&=6,\\ \Delta^4u_n&=0. \end{aligned}

Thus the fourth differences vanish for all

n,

but the third differences do not.

Therefore, the correct answer is D.

1976 AMC 12 Problema 25

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años