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1977 AMC 12 第 7 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

7.

若

t=\dfrac1{1-\sqrt[4]{2}}

，则

t

等于

If

t=\dfrac1{1-\sqrt[4]{2}},

then

t

equals

(1-\sqrt[4]{2})(2-\sqrt2)

(1-\sqrt[4]{2})(1+\sqrt2)

(1+\sqrt[4]{2})(1-\sqrt2)

(1+\sqrt[4]{2})(1+\sqrt2)

-(1+\sqrt[4]{2})(1+\sqrt2)

答案：E

知识点：分母有理化平方差根式

难度评级：1860

小提示：

令

u=\sqrt[4]{2}

，并利用

u^4=2

Let

u=\sqrt[4]{2}

and use

u^4=2

大提示：

把

u^4-1

分解为两个一次因式与一个二次因式的乘积

Factor

u^4-1

into a linear factor, a second linear factor, and a quadratic factor

解答：

令

u=\sqrt[4]{2}

。由于

\begin{aligned} &(1-u)\bigl(-(1+u)(1+u^2)\bigr)\\ &\qquad=-(1-u^2)(1+u^2)\\ &\qquad=u^4-1=1 \end{aligned}\text{，}

所以

t=-(1+\sqrt[4]{2})(1+\sqrt2)\text{。}

因此，正确答案是 E。

Let

u=\sqrt[4]{2}.

Since

\begin{aligned} &(1-u)\bigl(-(1+u)(1+u^2)\bigr)\\ &\qquad=-(1-u^2)(1+u^2)\\ &\qquad=u^4-1=1, \end{aligned}

it follows that

t=-(1+\sqrt[4]{2})(1+\sqrt2).

Therefore, the correct answer is E.

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