1978 AMC 12 Problema 24

Question

Si los números distintos y no nulos

x(y-z),

y(z-x),

z(x-y)

forman una progresión geométrica de razón común

r,

entonces

r

satisface la ecuación

If the distinct nonzero numbers

x(y-z),

y(z-x),

z(x-y)

form a geometric progression with common ratio

r,

then

r

satisfies the equation

r^2+r+1=0

r^2-r+1=0

r^4+r^2-1=0

(r+1)^4+r=0

(r-1)^4+r=0

Suma las tres expresiones dadas

Add the three given expressions

Escribe los tres términos no nulos como

u,

ur,

ur^2

Write the three nonzero terms as

u,

ur,

ur^2

Las tres expresiones tienen suma

\begin{aligned} &x(y-z)+y(z-x)\\ &\qquad+z(x-y)=0. \end{aligned}

Al escribir la progresión geométrica no nula como

u,

ur,

ur^2

se obtiene

u(1+r+r^2)=0.

Como

u\ne0,

r^2+r+1=0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The three expressions have sum

\begin{aligned} &x(y-z)+y(z-x)\\ &\qquad+z(x-y)=0. \end{aligned}

Writing the nonzero geometric progression as

u,

ur,

ur^2

gives

u(1+r+r^2)=0.

Since

u\ne0,

r^2+r+1=0.

Therefore, the correct answer is A.

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