1978 AMC 12 第 6 题

Question

同时满足下列两个方程的不同实数对

(x,y)

的个数

\begin{aligned} x&=x^2+y^2,\\ y&=2xy\text{。} \end{aligned}

为

The number of distinct pairs

(x,y)

of real numbers satisfying both of the following equations:

\begin{aligned} x&=x^2+y^2,\\ y&=2xy. \end{aligned}

is

0

1

2

3

4

答案：E

知识点：方程组分类讨论零积性质

难度评级：1590

小提示：

将第二个方程因式分解为

y(1-2x)=0

Factor the second equation as

y(1-2x)=0

大提示：

分别讨论

y=0

和

x=\frac12

两种情况

Handle

y=0

and

x=\frac12

as separate cases

解答：

若

y=0

，第一个方程给出

x=x^2

，所以

(x,y)=(0,0)

或

(1,0)

。若

y\ne0

，第二个方程给出

x=\frac{1}{2}

。代入第一个方程得到

y^2=\frac{1}{4}

，从而还有

(\frac{1}{2},\frac{1}{2})

和

(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})

。共有四个数对。

因此，正确答案是 E。

If

y=0,

the first equation gives

x=x^2,

so

(x,y)=(0,0)

or

(1,0).

If

y\ne0,

the second equation gives

x=\frac{1}{2}.

The first then gives

y^2=\frac{1}{4},

producing

(\frac{1}{2},\frac{1}{2})

and

(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}).

There are four pairs.

Therefore, the correct answer is E.

1978 AMC 12 第 6 题

答案：E

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

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