1982 AMC 12 第 20 题

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20.

满足方程

x^2+y^2=x^3

的正整数对

(x,y)

的数量为

The number of pairs of positive integers

(x,y)

which satisfy the equation

x^2+y^2=x^3

0

1

2

无限多

not finite

以上都不是

none of these

将方程改写为

y^2=x^2(x-1)

Rearrange as

y^2=x^2(x-1)

令

x-1

为完全平方数

Choose

x-1

to be a perfect square

对每个正整数

k

，取

x=k^2+1

，且

y=k(k^2+1)=kx

。则

y^2=k^2x^2=x^2(x-1)

，所以

x^2+y^2=x^3

。这样就得到无穷多个正整数对。

因此，正确答案为 D。

For every positive integer

k,

take

x=k^2+1

and

y=k(k^2+1)=kx.

Then

y^2=k^2x^2=x^2(x-1),

x^2+y^2=x^3.

This supplies infinitely many positive-integer pairs.

Therefore, the correct answer is D.

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