1982 AMC 12 Problema 20

Question

La cantidad de pares de enteros positivos

(x,y)

que satisfacen la ecuación

x^2+y^2=x^3

es

The number of pairs of positive integers

(x,y)

which satisfy the equation

x^2+y^2=x^3

is

0

1

2

infinita

not finite

ninguna de las anteriores

none of these

Reordena la ecuación como

y^2=x^2(x-1)

Rearrange as

y^2=x^2(x-1)

Elige

x-1

como un cuadrado perfecto

Choose

x-1

to be a perfect square

Para cada entero positivo

k,

toma

x=k^2+1

y

y=k(k^2+1)=kx.

Entonces

y^2=k^2x^2=x^2(x-1),

por lo que

x^2+y^2=x^3.

Esto produce infinitos pares de enteros positivos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For every positive integer

k,

take

x=k^2+1

and

y=k(k^2+1)=kx.

Then

y^2=k^2x^2=x^2(x-1),

so

x^2+y^2=x^3.

This supplies infinitely many positive-integer pairs.

Therefore, the correct answer is D.

El Problema 20 en otros años