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1982 AMC 12 第 21 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

21.

在右图中，三角形

ABC

是满足

\angle BCA=90^\circ

的直角三角形。中线

CM

垂直于中线

BN

，且边

BC=s

。则

BN

的长度为

In the adjoining figure, the triangle

ABC

is a right triangle with

\angle BCA=90^\circ.

Median

CM

is perpendicular to median

BN,

and side

BC=s.

The length of

BN

is

s\sqrt2

\frac32s\sqrt2

2s\sqrt2

\frac{s\sqrt5}{2}

\frac{s\sqrt6}{2}

答案：E

知识点：中线（几何）坐标几何向量直角三角形

难度评级：2150

小提示：

取

C=(0,0)

、

B=(0,s)

，且

A=(t,0)

Place

C=(0,0),

B=(0,s),

and

A=(t,0)

大提示：

对两条中线的方向向量使用点积

Use a dot product for the directions of the two medians

解答：

取

C=(0,0)

、

B=(0,s)

，且

A=(t,0)

。则

M=(\frac{t}{2},\frac{s}{2})

，且

N=(\frac{t}{2},0)

。由垂直关系得

(\frac{t}{2},\frac{s}{2})\cdot(\frac{t}{2},-s)=0

，从而

t^2=2s^2

。因此

\begin{aligned} BN&=\sqrt{(\frac{t}{2})^2+s^2}\\ &=\sqrt{\frac{s^2}{2}+s^2}\\ &=\frac{s\sqrt6}{2} \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案为 E。

Set

C=(0,0),

B=(0,s),

and

A=(t,0).

Then

M=(\frac{t}{2},\frac{s}{2})

and

N=(\frac{t}{2},0).

Perpendicularity gives

(\frac{t}{2},\frac{s}{2})\cdot(\frac{t}{2},-s)=0,

hence

t^2=2s^2.

Therefore

\begin{aligned} BN&=\sqrt{(\frac{t}{2})^2+s^2}\\ &=\sqrt{\frac{s^2}{2}+s^2}\\ &=\frac{s\sqrt6}{2}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is E.

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