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1984 AMC 12 第 20 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

方程

\left|x-|2x+1|\right|=3

的不同解的个数为

The number of distinct solutions of the equation

\left|x-|2x+1|\right|=3

is

0

1

2

3

4

答案：C

知识点：绝对值分类讨论一次方程

难度评级：1720

小提示：

将外层绝对值拆成两个方程

Split the outer absolute value into two equations

大提示：

对每个方程，先将

|2x+1|

单独移到一边，再分别检验两种情形

For each equation, isolate

|2x+1|

before checking its two cases

解答：

若

x-|2x+1|=3

，则

|2x+1|=x-3

，这要求

x\ge3

，但求解后没有符合条件的解。若

x-|2x+1|=-3

，则

|2x+1|=x+3

。分别解两个线性方程，得到

x=2

和

x=-\frac{4}{3}

，二者都符合条件。因此，共有

2

个不同的解。

所以正确答案是 C。

If

x-|2x+1|=3,

then

|2x+1|=x-3,

which requires

x\ge3

and yields no solution. If

x-|2x+1|=-3,

then

|2x+1|=x+3.

Its two linear cases give

x=2

and

x=-\frac{4}{3},

both valid. Thus there are

2

distinct solutions.

Therefore, the correct answer is C.

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