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1986 AMC 12 第 25 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

25.

若

\lfloor x\rfloor

表示不大于

x

的最大整数，则

\sum_{N=1}^{1024}\lfloor\log_2N\rfloor=

If

\lfloor x\rfloor

is the greatest integer less than or equal to

x,

then

\sum_{N=1}^{1024}\lfloor\log_2N\rfloor=

8192

8204

9218

\lfloor\log_2(1024!)\rfloor

以上均非

none of these

答案：B

知识点：floor function 对数 geometric series

难度评级：2300

小提示：

将整数

N

按照其所在区间

2^k\le N\lt2^{k+1}

分组

Group the integers

N

according to the interval

2^k\le N\lt2^{k+1}

大提示：

共有

2^k

个整数属于第

k

组；单独处理

N=1024

There are

2^k

integers in the

k

th group; handle

N=1024

separately

解答：

对于

0\le k\le9

，恰有

2^k

个整数

N

满足

2^k\le N\lt2^{k+1}

，每个都贡献

k

。最后一个整数

1024=2^{10}

贡献

10

。因此

\sum_{N=1}^{1024}\lfloor\log_2N\rfloor =\sum_{k=0}^{9}k2^k+10\text{。}

由有限几何级数的恒等式，

\sum_{k=0}^{9}k2^k=8194

，所以所求的和为

8204

。

因此正确答案是 B。

For

0\le k\le9,

exactly

2^k

integers

N

satisfy

2^k\le N\lt2^{k+1},

and each contributes

k.

The final integer

1024=2^{10}

contributes

10.

Hence

\sum_{N=1}^{1024}\lfloor\log_2N\rfloor =\sum_{k=0}^{9}k2^k+10.

The finite geometric-sum identity gives

\sum_{k=0}^{9}k2^k=8194,

so the requested sum is

8204.

Thus the correct answer is B.

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