1986 AMC 12 Problema 25

Question

Si

\lfloor x\rfloor

es el mayor entero menor o igual que

x,

entonces

\sum_{N=1}^{1024}\lfloor\log_2N\rfloor=

If

\lfloor x\rfloor

is the greatest integer less than or equal to

x,

then

\sum_{N=1}^{1024}\lfloor\log_2N\rfloor=

8192

8204

9218

\lfloor\log_2(1024!)\rfloor

ninguna de estas

none of these

Respuesta: B

Conceptos:floor function logaritmo geometric series

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Agrupa los enteros

N

según el intervalo

2^k\le N\lt2^{k+1}

Group the integers

N

according to the interval

2^k\le N\lt2^{k+1}

Pista grande:

Hay

2^k

enteros en el grupo

k

; considera

N=1024

por separado

There are

2^k

integers in the

k

th group; handle

N=1024

separately

Solución:

Para

0\le k\le9,

exactamente

2^k

enteros

N

satisfacen

2^k\le N\lt2^{k+1},

y cada uno aporta

k.

El entero final

1024=2^{10}

aporta

10.

Por tanto,

\sum_{N=1}^{1024}\lfloor\log_2N\rfloor =\sum_{k=0}^{9}k2^k+10.

La identidad para la suma geométrica finita da

\sum_{k=0}^{9}k2^k=8194,

por lo que la suma pedida es

8204.

Por tanto, la respuesta correcta es B.

For

0\le k\le9,

exactly

2^k

integers

N

satisfy

2^k\le N\lt2^{k+1},

and each contributes

k.

The final integer

1024=2^{10}

contributes

10.

Hence

\sum_{N=1}^{1024}\lfloor\log_2N\rfloor =\sum_{k=0}^{9}k2^k+10.

The finite geometric-sum identity gives

\sum_{k=0}^{9}k2^k=8194,

so the requested sum is

8204.

Thus the correct answer is B.